Сходимость МКЭ
В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптотическому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Установлен ряд важных теорем о сходимости, например, для совместных элементов определено [26, стр. 195-196], что если (k-1) является степенью полинома, с помощью которого внутри конечных элементов аппроксимируется перемещение и решается эллиптическая краевая задача порядка 2m, для которой получено приближенное решение в перемещениях u*, то ошибка в энергии по сравнению с точным решением u составляет
U(u-u*, u-u*) £ C2h2(k-m)||u||2k ,
где h – максимальное значение относительного размера элемента (шаг сетки).
Для s-х производных z имеем оценки ошибок
||z-z*||s £ Chk-s||z||k , если s > 2m-k ;
||z-z*||s
£ Ch2(k-s)||z||k , если s £ 2m-k.
Для несовместных элементов аналогичные оценки получены в серии работ И.Д. Евзерова и В.С. Карпиловского (см., например, [8], [13]). Используя эти результаты можно получить оценки сходимости для всех конечных элементов из библиотеки SCAD, которые представлены в таблице 20.1.
Таблица 20.1.
| Тип | Наименование конечного элемента
| Показатель степени в оценках скорости сходимости по: | |||||||||
| КЭ | ïåðåìåùåíèÿìперемещениям | íàïðÿæåíèÿìнапряжениям | ìîìåíòàìмоментам | ïîïåðå÷íûì ñèëàìпоперечным силам | |||||||
| 11,13 | Универсальный прямоугольный элемент плиты | 2 | — | 2 | 1 | ||||||
| 12,14 | Универсальный треугольный элемент плиты | 2 | — | 1 | 0 | ||||||
| 20 | Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плиты | 2 | — | 1 | 0 | ||||||
| 21 | Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 22 | Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 23 | Универсальный прямоугольный элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 24 | Универсальный треугольный элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 27 | Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 29 | Универсальный четырехугольный (от 4 до 12 узлов) элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 30 | Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент плоской задачи теории упругости | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 31 | Параллелепипед | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 32 | Тетраэдр | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 33 | Трехгранная призма | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 34 | Пространственный изопараметрический шестиузловой элемент | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 36 | Пространственный изопараметрический восьмиузловой элемент | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 37 | Пространственный изопараметрический двенадцатиузловой элемент | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 41 | Универсальный прямоугольный элемент оболочки | 2 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 42 | Универсальный треугольный элемент оболочки | 2 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 44 | Универсальный четырехугольный элемент оболочки | 2 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 50 | Универсальный четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент оболочки | 2 | 1 | 1 | 0 | ||||||
| 61 | Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 62 | Универсальный кольцевой элемент с треугольным поперечным сечением | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 64 | Универсальный кольцевой элемент с прямоугольным поперечным сечением (от 4 до 8 узлов) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 71 | Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 72 | Треугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 73 | Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 74 | Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет поперечного сдвига, обжатия слоев, кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 81 | Прямоугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 82 | Треугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 83 | Четырехугольный элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) | 2 | 1 | — | — | ||||||
| 84 | Четырехугольный (от 4 до 8 узлов) элемент многослойной оболочки (учет межслоевых сдвигов и кривизны) | 2 | 1 | — | — |
Данные, представленные в таблице 20.1, дают возможность приблизительно назначить требуемую густоту сетки конечных элементов, исходя из такого весьма характерного рассуждения [3, стр.55]: "... заметим лишь, что при естественных ограничениях на исходные данные и сетку области, сходимость имеет место и погрешность в определении напряжений и деформаций имеет порядок ch/L, где через с
обозначена константа, зависящая от формы области; h
— шаг сетки; L — характерный размер области. Эта оценка служит ориентиром при назначении шага сетки в зависимости от желаемой точности (средней), например, задав точность приближенного решения 5%, нужно выбрать шаг сетки равным примерно 1/20 от характерного размера...", т.е. для характерного двумерного пятна необходимо иметь около 400 узлов, а в трехмерной задаче – примерно 8000.
